解析力学を一から学ぶ

解析力学を学ぼうという人は、
すでに力学を学んでいることがほとんどであろう。

これまでに習った力学では、
ニュートンの運動方程式が中心的な役割を果たした。
これをニュートン力学と呼ぼう。

一方、
これから学ぶ解析力学では、
ラグランジアンやハミルトニアンといった量が出てくる。
それらを使った力学を、
ラグランジュ形式の力学やハミルトニアン形式の力学と呼び、
それらをまとめて解析力学と呼ぶ。

解析力学は、
これまでに習ったニュートン力学を異なる形で定式化する理論である。

解析力学に出てくる式は一見難しそうに見えるが、
結局はニュートンの運動方程式を変形しているだけであり、
本質的な予言能力に変わりはない。

にもかかわらず解析力学を学ぶご利益の一つは、
ニュートン力学に比べて問題の見通しがよくなり、
微分方程式を直接解かずとも
系の運動の情報が得られるようになるからである。

この見通しのよさは、
あとで量子力学へとつながっていく。
また、
解析力学で導入されるラグランジアンは、
電磁気学や相対論でも用いられる。

(おすすめ書籍｢はじめに｣より抜粋)

前置き無しのいきなりで申し訳ないが、本記事のテーマは｢解析力学｣である。

物理数学のゴール(個人の感想です)であり、現代数学の三本柱である｢代数｣｢幾何｣｢解析｣も惜しげもなく導入した、まさに｢現代理論物理学の土台｣だ。

そして、今から語ろう、前置きを(笑)

大学一巡目時代の旧友が、今年度からの勤務先近くでお坊さん(実家のご都合)をしている。

お互い量子論が専門だったので、たまに会った際はそうした話題を懐かしんでいるのだ。

そんな日本版ジョルジュ・ルメートル(言い過ぎ(笑))と交流していると、やっぱり理論物理の基礎的なことを語りたくなってきたというわけである。

そして折よく今回のおすすめ書籍↓を入手したので、当ブログで本格的に取り上げたことのなかった｢解析力学｣を選定するに至ると。

さて本記事では、理論物理学初級者の難所である、そんな｢解析力学｣を概説していこう。

ズバリ、ポイントは3つ！ (本ブログ各章での解説は順不同。悪しからず。)

①　｢位置｣と｢運動量｣を一般化：ラグランジアンとハミルトニアン

②　運動方程式を一般化：オイラー・ラグランジュ方程式と正準方程式

③　不変な事象を一般化：ポアソン括弧とネーターの定理

これらを整理するにあたって、ブログ既出の名著たち↓にもご協力いただいた。大感謝！！

オーバーホール：ニュートン力学の分解と修復

解析力学とは、
言ってしまえば変数変換の学問である。

力学は物体の運動を扱う学問であり、
その目的は、
さまざまな条件下で物体の運動の軌跡を決定することである。
運動は微分方程式で記述されているため、
微分方程式を解くことで運動を決定することになる。

ニュートン力学では、
系の状態を運動方程式に落とし、
微分方程式の初期値問題として問題を解いていた。

一方、
解析力学では座標変換に注目し、
時間発展を多次元空間における座標変換として捉える。
また、
その定式化は量子力学へとつながっていく。

(おすすめ書籍の第1章｢解析力学の概観｣より抜粋)

…というわけで、以下に長々とその変数変換の操作を取り上げていく。

我々が普段慣れ親しんでいる｢位置｣とその｢時間変化｣…つまり｢速度｣を、それこそデカルト座標の｢x｣と｢y｣のように、単なる一般的な｢パラメータ｣として無機質に扱うようにする。

そんなイメージを持って、概観してほしい。

ニュートンの運動方程式 (F＝ma) から始めよう。
Fが力、mが質量、aが加速度である。

いま、
座標をxとし、
力が保存力であるとして、
　F＝ーV'(x)
とかける場合を考えると、
運動方程式は以下のようになる。
　m d2x/dt2＝ーV’(x)
この方程式の初期値問題を解くのがニュートン力学の目的であった。

もし物体が静止している場合、
左辺はゼロであるから、
　F＝ーV’(x)＝０
これは、
物体に働く力の総和Fが釣り合っている状態を表している。
このように静止状態にある物体に働く力を調べる学問を静力学と呼ぶ。

物体が力を受けて運動している場合、
加速度はゼロではなくなる。
この状態を動力学と呼ぶ。

動力学を表わす運動方程式は2階の微分方程式である。
ここで、
新たな変数ｖを導入して、
1階の連立微分方程式に変形しよう。
　m dv/dt＝ーV’(x)
　dx/dt＝ｖ
最初の式の両辺にv＝dx/dtを掛けてみよう。
左辺にvを、
右辺にdx/dtを掛ける。
　mv dv/dt＝ーV’(x) dx/dt
これを見ると、
合成関数の微分則により以下のように変形できる。
　d/dt (1/2 mv2)＝ーdV/dt

ここで新たな物理量Kを
　K＝1/2 mv2
として導入すると、
　d/dt (K＋V)＝０
となる。
これがエネルギー保存則である。

運動方程式は運動量の時間変化と力を結ぶ等式だ。等式であるから移項することができる。

すると…

　F＝ーm dv/dtーV’(x)＝０

…のように、運動量の変化をあたかも｢力｣のように扱うことができ、力の釣合の式とみなすことができる。(これをダランベールの原理と呼ぶ。)

さて、
右辺第2項はポテンシャルエネルギーを位置で微分したものだ。
同様に、
右辺第1項も運動エネルギーを速度で偏微分したうえで、
さらに時間微分したものであるとみなすことができる。
　m dv/dt＝d/dt (∂K/∂v)
とすると、
運動方程式は以下のように書き直すことができる。
　d/dt (∂K/∂v)＋dV/dx＝0
ここで、
のちの都合のためにv＝x'と表記する。

KとVの差を考え、
それを2変数L(x,x')とみなす。
　L(x,x') ≔ K(x')ーV(x)
この量をラグランジアンと呼ぶ。
先ほどの運動方程式はラグランジアンを用いると、
　d/dt (∂L/∂x')＝∂L/∂x
これをオイラー・ラグランジュ方程式と呼び、
この式を扱う力学をラグランジュ形式の力学と呼ぶ。

静力学で力が釣り合っているとき、ポテンシャル関数を考え、それを最小にする場所として位置が決まった。

同様に動力学においても、なんらかのポテンシャルがあり、それを最小にするように運動が決まると考えることができる。

そのポテンシャルにあたるのがラグランジアンであり、それを積分したもの(｢作用｣と定義)を最小にするように運動が決まると主張するのが最小作用の原理もしくはハミルトンの原理(名称がややこしい(笑))である。

ラグランジュ形式の力学はニュートンの運動方程式を変形したものであるから、
特に情報は増えていない。
しかし、
この形で書いておいたほうが座標変換や変数変換に便利である。

例えば極座標や、
二重振り子など煩雑な拘束がある系において、
ニュートンの運動方程式の導出は面倒であることが多い。
だが、
ラグランジュ形式では簡便に運動方程式を導出できる。

(導出の詳細やその他のメリットについては本書を参考されたし。悪しからず。)

ニューオーダー：新しい力学に創られる秩序

力学では、
自由に動くなにかを自由度と呼ぶ。

質点の位置などは最も基本的な自由度であるが、
拘束条件がある系において何を自由度とするかは自明ではない。
例えば振り子の自由度としては、
鉛直方向からの角度θを採用するのが自然である。

ここでは、
座標の代わりに、
そのような自由度として一般化座標qを使おう。
ラグランジアンはxとx'の代わりにqとq'を使って
　L(q,q')＝K(q')ーV(q)
と書ける。

ここで一般化座標の時間微分q'は一般化速度と呼ばれる。
この一般化速度q'についてルジャンドル変換(詳細は本書を参照)をしよう。

つまり、
新たな変数pを
　p＝∂L/∂q'
により導入し、
さらに
　H＝pq'ーL
により、
新たな量H(ハミルトニアン)を導入すると、
運動方程式は以下のように書き直すことができる。
　q'＝∂H/∂p
　p'＝ー∂H/∂q

これをハミルトンの運動方程式、
もしくは正準方程式と呼び、
この方程式で記述される力学をハミルトン形式の力学と呼ぶ。

ハミルトニアンH(q,p)に対して時間微分を計算すると、
　H'＝∂H/∂q・q'＋∂H/∂p・p'
　　＝∂H/∂q・∂H/∂pー∂H/∂p・∂H/∂q
　　＝０
すなわち、
ハミルトニアンの時間微分は(ハミルトニアンが時間に陽に依存しない限り)
必ずゼロとなる。
これはエネルギー保存則に他ならない。

ニュートンの運動方程式やオイラー・ラグランジュ方程式に比べ、
正準方程式はエネルギー保存則が見えやすい形となっている。

ハミルトン形式の力学はラグランジュ形式の力学からルジャンドル変換により変数変換したものであり、ラグランジュ形式の力学はニュートン力学を式変形して得られたものだから、本質的には同じ問題を記述しており、運動方程式の予言能力は変わらない。

しかし、ハミルトン形式で書いておくことで、ラグランジュ形式よりも広い形の変数変換が可能となる。

この形式では、
系の変数が(q,p)で記述されている。

ここで新たな変数(Q,P)を定義する。
Qは(q,p)の関数、
つまりQ(q,p)で書ける量であり、
Pも同様である。

このとき、
(q,p)がハミルトンの運動方程式に従い、
かつ(Q,P)の(q.p)に関するヤコビアン(詳細は割愛)について
　∂(Q,P)/∂(q,p) ≔ ∂Q/∂q・∂P/∂pー∂Q/∂p・∂P/∂q
　　　　　　　　＝１
が満たされるとき、
返還後の変数(Q,P)の時間発展も、
ハミルトンの運動方程式
　Q’＝∂H/∂P
　P’＝ー∂H/∂Q
に従う、
すなわち運動方程式の解であることが示される。

したがって｢運動方程式を解く｣という微分方程式の初期値問題は、｢変数(q,p)が一定時間後に変数(Q,P)になるとき、それを(q,p)で記述する｣という変数変換の問題に帰着される。

このような変換を正準変換と呼ぶ。

最初に述べたように、ハミルトン形式の力学、すなわち解析力学は変数変換の学問であり、時間発展すらも変数変換とみなす見方を提供してくれるのだ。

ワン・フォー・オール：量子力学への継承

1自由度系における正準方程式を考えよう。
　q'＝∂H/∂p
　p'＝ー∂H/∂q

この系はq,pという正準変換によって記述されており、
この系のすべての物理量はq,pの関数として表現される。
例えば運動エネルギーなら
　K(q,p)＝p2/2m
である。

ある物理量A(q,p)を考えよう。
この物理量を時間微分すると、
　dA/dt＝∂A/∂q・q'＋∂A/∂p・p'
正準方程式を使ってq',p'を消去すると、
　dA/dt＝∂A/∂q・∂H/∂pー∂A/∂p・∂H/∂q
この式の右辺を見ると、
q,pやH,Aが対称な形で含まれていることがわかる。

そこで、
以下のような括弧式を定義する。
　{X,Y}q,p ≔ ∂X/∂q・∂Y/∂pー∂X/∂p・∂Y/∂q
括弧の添字のq,pは｢この変数で微分する｣という意味である。
これを用いると、
物理量Aの時間微分は
　dA/dt＝{A,H}q,p
と書くことができる。
この括弧をポアソン括弧と呼ぶ。

※なお、多自由度系(q1,q2,…,qN,p1,p2,…,pN)におけるポアソン括弧も
同様に定義できる。
｢アインシュタイン記法｣と聞いてピンと来る人もいるであろうが、
詳細は本書を参照されたし。

さて、変数変換(q,p)→(Q,P)により運動方程式の形を変えないとき、この変換を正準変換と呼ぶのであった。

実はポアソン括弧は正準変換に対して不変であること、すなわち、ある正準変数の組(q,p)が別の正準変数の組(Q,P)に正準変換されるとき、(q,p)で定義したポアソン括弧式と(Q,P)の式は等しいことを示すことができる。(詳細は本書を参照されたし。)

ポアソン括弧式は正準変換で移り変わることができるような、
いかなる正準変数の組で表現しても同じ値になるため、
添字に｢どの変数で定義したか｣を表記する必要はない。
以後は括弧式の変数を省略しよう。
　{X,Y}q,p＝{X,Y}Q,P＝{X,Y}

ポアソン括弧式が正準変換に対して不変である事実は重要である。
前提として、
物理法則は座標の取り方によって形を変えてほしくない。
であるならば、
運動方程式表現するのにどのような座標を採用するかは重要ではないのだから、
座標を陽に書かない表現が好ましい。

もう一度物理量の時間微分を見てみよう。
　dA/dt＝{A,H}
この式には座標が陽に現れない。

我々が正準変数として(q,p)を選んでいようが(Q,P)を選んでいようが、
この式は形を変えないのだから、
座標を気にしなくてもよい。

ある物理量Xが別の物理量Yと可換(数式内で前後の入れ換え可能)であるとき、
XとYのポアソン括弧式はゼロとなる。

例えば、
ある物理量AがハミルトニアンHと可換であるならば、
　dA/dt＝{A,H}＝０
となり、
Aは時間に対して不変量となる。
これは何かしらの保存則を表わしていることがわかる。

現時点での変数(q,p)に対して、
その変数で表現されたスカラー関数J(q,p)が与えられ、
このJにより微小な正準変換(ハミルトニアンが変化しない)が引き起こされ、
変数(Q,P)に移るとしよう。

式導出の詳細は本書を参照されたしだが、
　δH＝H(Q,P)ーH(q,p)＝ε{H,J}
　δH＝０ → {H,J}＝０
これはハミルトニアンとJが可換となることを意味するから、
　J'＝{J,H}＝０
すなわち何がしかの操作に対応する保存量(この場合はJ)が存在することになる。

系を少しだけ変化させる微小正準変換があり、この正準変換を引き起こす関数Jによって引き起こされるハミルトニアンの変化が高次(ざっくりと表現すると｢変化しない｣)であるとき、このJは保存する。

前述の可換の考え方を用いると、｢微小な変化を引き起こす操作に対して、ハミルトニアンが不変であること｣を『対称性』として定義することができる。ハミルトニアンの変化が高次であることと、変化を引き起こす関数Jがハミルトニアンと交換することは等価である。

このことをネーターの定理と呼ぶ。

これにより、
｢なぜ系の時間発展によってエネルギーが保存するか｣
という問いに対して、
｢時間発展を引き起こす関数がハミルトニアン自身であり(前章参照)、
ハミルトニアンは自身と交換可能であるから｣
と答えることができる。

我々はエネルギー保存則に対して、
また異なる視点を得たことがわかる。

ネーターの定理により、
関数Jとして並進運動量を選ぶと運動量保存則が、
角運動量を選ぶと角運動量保存則が導かれる。

こうして、
並進, 回転, 時間発展という異なる操作が
｢なにかを少し動かすという操作｣として統一的に理解され、
それらによってハミルトニアンが変化しないならば、
その操作に対応する保存則が存在することがわかる。

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ここで紹介したのは解析力学から量子論への道程のほんの入り口である。

さらにこの道を進みたくなったなら、↓の書籍(ブログ既出)も是非とも手にとって欲しい。

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目指せ！！理学の友人(笑)！！これぞ賢者への道程！！